Matemática discreta Ejemplos

$f (x) = 5 \log (3) x$

Paso 1

Escribe $f (x) = 5 \log (3) x$ como una ecuación.

$y = 5 \log (3) x$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = 5 \log (3) y$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $5 \log (3) y = x$ .

$5 \log (3) y = x$

Paso 3.2

Divide cada término en $5 \log (3) y = x$ por $5 \log (3)$ y simplifica.

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Paso 3.2.1

Divide cada término en $5 \log (3) y = x$ por $5 \log (3)$ .

$\frac{5 \log (3) y}{5 \log (3)} = \frac{x}{5 \log (3)}$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.1

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{5 \log (3) y}{5 \log (3)} = \frac{x}{5 \log (3)}$

Paso 3.2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\log (3) y}{\log (3)} = \frac{x}{5 \log (3)}$

Paso 3.2.2.2

Cancela el factor común de $\log (3)$ .

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Paso 3.2.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{\log (3) y}{\log (3)} = \frac{x}{5 \log (3)}$

Paso 3.2.2.2.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{x}{5 \log (3)}$

Paso 3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.3.1

Simplifica $5 \log (3)$ al mover $5$ dentro del algoritmo.

$y = \frac{x}{\log (3^{5})}$

Paso 3.2.3.2

Eleva $3$ a la potencia de $5$ .

$y = \frac{x}{\log (243)}$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{\log (243)}$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{x}{\log (243)}$ es la inversa de $f (x) = 5 \log (3) x$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (5 \log (3) x)$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (5 \log (3) x) = \frac{5 \log (3) x}{\log (243)}$

Paso 5.2.3

Simplifica $5 \log (3)$ al mover $5$ dentro del algoritmo.

$f^{- 1} (5 \log (3) x) = \frac{\log (3^{5}) x}{\log (243)}$

Paso 5.2.4

Eleva $3$ a la potencia de $5$ .

$f^{- 1} (5 \log (3) x) = \frac{\log (243) x}{\log (243)}$

Paso 5.2.5

Cancela el factor común de $\log (243)$ .

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Paso 5.2.5.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (5 \log (3) x) = \frac{\log (243) x}{\log (243)}$

Paso 5.2.5.2

Divide $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (5 \log (3) x) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (\frac{x}{\log (243)})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{x}{\log (243)}) = 5 \log (3) (\frac{x}{\log (243)})$

Paso 5.3.3

Simplifica $5 \log (3)$ al mover $5$ dentro del algoritmo.

$f (\frac{x}{\log (243)}) = \log (3^{5}) (\frac{x}{\log (243)})$

Paso 5.3.4

Eleva $3$ a la potencia de $5$ .

$f (\frac{x}{\log (243)}) = \log (243) (\frac{x}{\log (243)})$

Paso 5.3.5

Cancela el factor común de $\log (243)$ .

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Paso 5.3.5.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{x}{\log (243)}) = \log (243) (\frac{x}{\log (243)})$

Paso 5.3.5.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{x}{\log (243)}) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{x}{\log (243)}$ es la inversa de $f (x) = 5 \log (3) x$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{\log (243)}$